Série convergente : série qui tend vers une valeur ou une limite spécifique
(Limite)
Définition :
La série \((S_n)\) de terme général \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est convergente si $$\exists\ell\in{\Bbb R},\quad S_n\longrightarrow\ell$$
Définition :
Si la suite \((S_n)_{n\geqslant0}\) admet une limite finie dans \({\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on note $$S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } S_n$$
On appelle alors \(S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k\) la somme de la série \(\sum_{k\geqslant0}u_k\)
Une série est divergente si elle ne converge pas vers un réel \(\ell\in{\Bbb R}\)
On dit qu'une série diverge grossièrement si son terme général ne tend pas vers \(0\)
Série absolument convergente
Définition :
Si la suite \((S_n)_{n\geqslant0}\) admet une limite finie dans \({\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on note $$S=\sum^{+\infty}_{k=0}u_k=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } S_n$$
(//Limite)
Dans le cas d'une série convergente, la somme de la série \(S\) vérifie \(\lim S_n=S\), mais aussi \(\forall n,S_n\leqslant S\)
Une série ne peut pas être convergente si son terme général ne tend pas vers \(0\)
(Série numérique (Terme général))
Critère de Cauchy
Théorème de comparaison série-intégrale
Théorème de la sommation d’Abel
Développement limité
Théorème des équivalents
Théorème de comparaison
Règle du quotient de d’Alembert - Critère de d’Alembert
Règle des racines de Cauchy
Règle de Raabe-Duhamel
Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées
Série de Riemann
Série de Bertrand